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    高中数学第一章1.2《任意角的三角函数(1)》(必修4)

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    课程内容

    《任意角的三角函数(1)》
    复习
    1、如图,在直角三角形ABC中,sinα,cosα,tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切,它们的值分别等于什么?
    2、当角α不是锐角时,我们必须对sinα,cosα,tanα的值进行推广,以适应任意角的需要。
    知识探究(一):任意角的三角函数
    思考1:为了研究方便,我们把锐角α放到直角坐标系中,并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在角α的终边上取一点P(a,b),设点P与原点的距离为r,那么,sinα,cosα,tanα的值分别如何表示?
    思考2:对于确定的角α,上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢?为什么?
    思考3:为了使sinα,cosα的表示式更简单,你认为点P的位置选在何处最好?此时,sinα,cosα分别等于什么?
    思考4:在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆,对于角α的终边上一点P,要使|OP|=1,点P的位置如何确定?
    思考5:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾,你认为sinα,cosα,tanα对应的值应分别如何定义?
    思考6:对于一个任意给定的角α,按照上述定义,对应的sinα,cosα,tanα的值是否存在?是否唯一?
    思考7:对应关系sinα=y,cosα=x,tanα=y/x(x≠0)都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标比值为函数值的函数,分别统称为正弦函数、余弦函数和正切函数,并统称为三角函数,在弧度制中,这三个三角函数的定义域分别是什么?
    知识探究(二):三角函数符号与公式
    思考1:当角α在某个象限时,设其终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数定义,sinα,cosα,tanα的函数值符号是否确定?为什么?
    思考2:综上分析,各三角函数在各个象限的取值符号如表,你有什么办法记住这些信息?
    思考3:如果角α与β的终边相同,那么sinα与sinβ有什么关系?cosα与cosβ有什么关系?tanα与tanβ有什么关系?
    思考4:上述结论表明,终边相同的角的同名三角函数值相等,如何将这个性质同一组数学公式表达?
    思考5:若sinα=sinβ,则角α与β的终边一定相同吗?
    思考6:在求任意角的三角函数值时,上述公式有何功能作用?
    思考7:函数的对应形式有一对一和多对一两种,三角函数是哪一种对应形式?
    理论迁移
    例1:求5π/3的正弦、余弦和正切值。
    例2:已知角的终边过点P(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值。
    例3:求证:当且仅当不等式组 sinθ<0 成立时,角θ为第三象限角。
                              tanθ>0
    例4:确定下列三角函数值的符号。
    (1)cos250°   (2)sin(-π/4)   (3)tan(-672°)
    (4)tan3π     (5)cos9π/4       (6)tan(-11π/6)

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