课程内容

《空间两点间的距离公式》
问题提出：
1、数轴上两点之间的距离公式是什么？
2、在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
3、在空间直角坐标系中，若已知两点坐标，则这两点的距离是唯一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此我们从理论上进行研究。
探究（一）
问题1：长方体的对角线是长方体中的哪一条线段？
问题2：怎样测量长方体的对角线的长？
问题3：已知长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则对角线的长d=√（a²+b²+c²）
问题4：给出空间两点A（x₁，y₁，z₁），P（x₂，y₂，z₂），可否类比得到一个距离公式？
探究（二）：空间任意两点A（x₁，y₁，z₁），P（x₂，y₂，z₂）
|AP|=√[（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²+（z₁-z₂）²]
结论：
在空间直角坐标系中，任意两点P₁（x₁，y₁，z₁），P₂（x₂，y₂，z₂）间的距离：|P₁P₂|=√[（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²+（z₁-z₂）²]
公式的记忆方法：同名坐标差和平方和的算术根。
练1：若P=（1,2,-2）和Q（-1,0,-1）的距离是__________。
练2：给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P₀（4,1,2）距离为√30。
例1：求证以M₁（4,3,1）、M₂（7,1,2）、M₃（5,2,3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
例2：设P在x轴上，它到P₁（0,√2,3）的距离为到点P₁（0,1,-1）的距离的两倍，求点P的坐标。
练习
3、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离：
（1）A（2,3,5）    B（3,1,4）
（2）A（6,0,1）    B（3,5,7）
4、在z轴上求一点M，使点M到点A（1,0,2）与点B（1,-3,1）的距离相等。
5、如图，M-OAB是棱长为a的正四面体，顶点M在底面OAB上的射影为H，分别求出点B、H、M的坐标。
例3：如图，正方体OABC-O′A′B′C′的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC′|，求MN的长。