课程内容

《平面向量的基本定理及坐标表示（2）》
教学目标：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）掌握中点坐标公式；
（4）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
教学重点：
平面向量的坐标运算。
教学难点：
向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
复习引入
平面向量基本定理：
如果（→，e₁），（→，e₂），是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量（→，a），有且只有一对实数γ₁，γ₂，使（→，a）=γ₁（→，e₁）+γ₂(→，e₂).
（1）我们把不共线向量（→，e₁），（→，e₂）叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（2）基底不唯一，关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量（→，a）在给出基底（→，e₁），（→，e₂）的条件下进行分解；
（4）基底给定时，分解形式唯一，γ₁、γ2是被（→，a）、（→，e₁），（→，e₂）唯一确定的数量。
平面向量的坐标表示
在平面坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相等的两个单位向量（→，i）、（→、j）作为基底，任何一个向量（→，a），由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得（→，a）=x（→，i）y（→，j）
我们把（x,y）叫做向量（→，a）的（直角）坐标，记作（→，a）=(x,y).其中x叫做（→，a）在x轴上的坐标，特别地，（→，i）=（1,0），（→，j）=（0,1），（→，0）=（0，0）.
思考1：
已知（→，a）=（x₁，y₁），（→，b）=（x₂，y₂），你能得出（→，a）+（→，b），（→，a）-（→，b），γ（→，a）的坐标吗？
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
实数与向量的积得坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
思考2：
已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），怎样求（→，AB）的坐标？


一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。
讲解范例：
例1.已知（→，a）=（2,1），（→，b）=（-3,4），求（→，a）+（→，b），（→，a）-（→，b），3（→，a）+4（→，b）的坐标。
例2.已知平面上三点的坐标分别为A（-2,1）B（-1,3）C（3,4），求点D的坐标使这四点构成平行四边形的四个顶点。
例3:
1、若M（3，-2），N（-5，-1）且（→，MP）=1/2（→，MN），求P点的坐标。
2、若A（0,1），B（1,2），C（3,4），则（→，AB）-2（→，BC）=______.
3、已知四点A（5,1），B（3,4），C（1,3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形。
思考3：
1、两个向量共线的条件是什么？
2、如何用坐标表示两个共线向量？
推导过程：
设（→，a）=（x₁，y₁），（→，b）=（x₂，y₂），其中b≠0.
由（→，a）=γ（→，b）得：（x₁，y₁）=γ（x₂，y₂）
x₁=γx₂
y₁=γy₂消去γ：x₁y₂-x₂y₁=0.
（→，a）与（→，b）共线（→，b）≠（→，0）
当且仅当x₁y₂-x₂y₁=0时。
例4.已知（→，a）=(4,2)，（→，b）=（6，y），且（→，a）//（→，b），求y.
例5.已知A（-1，-1），B（1,3），C（2,5），试判断A、B、C三点之间的位置关系。
例6.若向量（→，a）=(-1,x)与（→，b）=（-x，2）共线且方向相同，求x.
例7.设点P是线段P₁P₂上的一点，P₁、P₂的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂）。
当点P是线段P₁P₂的中点时，求点P的坐标；
思考：（1）P₁P：PP₂=？
（2）如果题目中P₁P：PP₂=1:2呢？若P₁P：PP₂=γ如何求点P的坐标？