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    高中数学第二章2.3《平面向量的基本定理及坐标表示(1)》(必修4)

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    课程内容

    《平面向量的基本定理及坐标表示(1)》
    教学目标
    (1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念;
    (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
    (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量能够用基底来表达。
    教学重点:
    平面向量基本定理。
    教学难点:
    平面向量基本定理的理解与应用。
    向量的坐标表示的理解及运算的准确性。
    复习引入
    如图,有非零向量向量,则共线的条件是什么?

    向量与非零向量共线条件是:
    有且只有一个实数λ,使.
    思考:
    给定平面内两个向量(→,e1),(→,e2),请你作出向量3(→,e1)+2(→,e2),(→,e1)-2(→,e2).
    平面向量基本定理:
    观察如图三个不共线向量(→,e1)、(→,a)、(→,e2),它们之间会有怎样的关系呢?
    将三个向量的起点移到同一点:

    归纳:
    根据向量共线的条件,存在唯一的一对实数γ1,γ2使得:(→,OM)=γ1(→,e1),(→,ON)=γ2(→,e2)故(→,a)=γ1(→,e1)+γ2(→,e2).
     
    想一想:
    确定一对不共线向量(→,e1),(→,e2)后,是否平面内任意一个向量都可以用γ1(→,e1)+γ2(→,e2)来表示呢?
    平面向量基本定理:
    如果(→,e1),(→,e2)是同一个平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内任意一个向量(→,a),有且只有一对实γ1,γ2数,使(→,a)=γ1(→,e1)+γ2(→,e2).
    其中(→,e1),(→,e2)叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
    问题一:
    在刚才我们总结的定理中,基底(→,e1),(→,e2)是不是唯一的呢?
    问题二:
    给定基底(→,e1),(→,e2)之后,任意一个向量(→,a)的表示是不是唯一的呢?
    定理的应用:
    例1.如图,已知向量(→,e1)、(→,e2),求作向量(→,a),使(→,a)=-2(→,e1)+3(→,e2)解:。

    例2:如图,(→,OA)、(→,OB)不共线,且(→,AP)且(→,AP)=t(→,AB)(t∈R),用(→,OA),(→,OB)表示(→,OP).
    本体的实质是:
    已知O、A、B三点不共线,若点P在直线AB上,则(→,OP)=m(→,OA)+n(→,OB),且m+n=1.
    向量的夹角:
    已知两个非零向量(→,a)、(→,b),作(→,OA)=(→,a),(→,OB)=(→,b),则∠AOB=θ,叫向量(→,a)、(→,b)的夹角.
    当θ=0°,(→,a)、(→,b)同向;
    当θ=180°,(→,a)、(→,b)反向;
    当θ=90°,(→,a)、(→,b)垂直,记作(→,a)⊥(→,b).
    平面向量的坐标表示
    在平面坐标系内,我们分别取与x轴、y轴方向相等的两个单位向量(→,i),(→,j)作为基底,由平面向量基本定理可知,对任何一向量(→,a),有且只有一对实数x、y使得(→,a)=x(→,i)+y(→,j).
    我们把(x,y)叫做向量(→,a)的直角坐标,记作(→,a)=(x,y).其中x叫做(→,a)在x轴上的坐标x,y叫做(→,a)在y轴上的坐标,(→,a)=(x,y)叫做向量(→,a)的坐标表示。
    平面向量的坐标表示
    (1)如图,若|(→,i)|=|(→,j)|=1,以向量(→,i)、(→,j)为基底表示向量(→,a).
    (→,a)=2(→,i)+3(→,j)即(→,a)=(2,3)
    (2)如图,平面内有A、B两点,能否用坐标来表示向量(→,AB)呢?
    (→,AB)=(→,OB)-(→,0A)
    =(4(→,i)+4(→,j))-2((→,i)+1(→,j))
    =(4-2)(→,i)+(4-1)(→,j)=2(→,i)+3(→,j)即:(→,AB)=(2,3)

    应用:
    例3.如图,用基底(→,i)(→,j)分别表示向量(→,a)、(→,b)、(→,c)、(→,d),并求出他们的坐标.

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    2016-08-06 08:46:32

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