课程内容:
《向量数乘运算及其几何意义(1)》
教学目标:
1.掌握实数与向量的积得定义。
2.掌握实数与向量的积得运算律,并进行有关的计算。
教学重、难点:实数与向量的积得定义及其运算律。
请作出+
+
和(-
)+(-
)+(-
)向量,并指出相加后和的长度和方向有什么变化?
实数与向量的积的定义:
实数i与向量的积是一个向量,记作λ
,它的长度和方向规定如下:
(1)│λ│=│λ││
│
(2)当λ>0时,λ的方向与
的方向相同;当λ<0时,λ
的方向与
的方向相反;特别低,当λ=0或
=
时,λ
=
。
注意:实数λ与向量,可以作积,但不可以作加减法,即λ+
,λ-
是无意义的。
实数与向量的积得运算律:
设、
为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:
(1)λ(μ)=(λμ)
(2)(λ+μ)=λ
+μ
(3)λ(+
)=λ
+λ
例1.计算:
(1)(-3)×4
(2)3(+
)-2(
-
)-
(3)(2+3
-
)-(3
-2
+
)
例2.计算:
(1)3(-
)-2(
+2
)
(2)2(2+6
-3
)-3(-3
+4
-2
)
结论:向量与非零向量
共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得
=λ
。
例3.向量=
-
,
=-2
+2
是否共线?
例4.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且=
,
=
,你能用
、
表示
、
、
、
吗?