课程内容

《等比数列的性质及应用》
复习：
1、已知a₁，n，q，则
S_n=na₁， （q=1）
S_n=a₁·（1-qⁿ）/（1-q），（q≠1）
已知a₁，a_n，q，则
S_n=na₁， （q=1）
S_n=（a₁-a_nq）/（1-q），（q≠1）
2、对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
例1：在等比数列{a_n}中，公比为q，其前n项和为S_n，若数列{S_n}是等差数列，求公比q。
一、等差数列性质回顾
等差数列的性质：设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1、若m，n，p，q∈N*，m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q
2、数列{S_n/n}也是等差数列，公差d/2
3、数列S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，……也成等差数列，公差为k²d
4、若项数为2n（n≥2，n∈N），S_偶-S_奇=nd
若项数为2n+1（n≥2，n∈N），S_奇/S_偶=（n+1）/n
二、等比数列的性质
等比数列的性质：设有等比数列{a_n}公比为q，前n项和为S_n。
1、若m，n，p，r∈N^*，m+n=p+r，则a_ma_n=a_pa_r
2、数列Sk，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，……如果不是常数列{0}，也成等比数列，公比为q^k。
3、若项数为2n（n≥2，n∈N），S_偶/S_奇=q
4、{λa_n}（λ≠0），{|a_n|}分别是等比数列，公比分别为q和|q|。
5、若{a_n}和{b_n}分别是公比为q和p的等比数列，则数列{a_n·b_n}，{a_n/b_n}仍是等比数列，它们的公比分别是pq，q/p。
6、当a₁＞0，q＞0或a₁＜0，0＜q＜1时为递增数列；当a₁＞0，0＜q＜1或a₁＜0，q＞0时为递减数列；当q=1时为常数列，当q＜0时为摆动数列。
典型例题
例1：在等比数列{a_n}中，已知a₇·a₁₂=5，则a₈·a₉·a₁₀·a₁₁等于（   ）
     A、10     B、25     C、50     D、75
例2：已知等比数列{a_n}的前三项和为168，a₂-a₅=42，求a₅与a₇的等比中项。
例3：已知某等差数列的第1,2,4项成等比数列，求证该数列的第4,6,9项也成等比数列。
例4：在8/3和27/2之间插入三个数，使这5个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积。
练习
1、已知一个等比数列的前n项和为12，前2n项和为48，求其前3n项和。
2、在等比数列{a_n}中，若a₁·a₂·a₃……a₉₉=2⁹⁹，求a₅₀。
3、已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（  ），项数n=（  ）。