课程内容

《圆与圆的位置关系》
外离    d＞R+r
外切    d＝R+r
相交  R+r＞d＞R-r
内切    R-r=d
内含    R-r＞d
例1 已知圆 C₁:x²+y²+2x+8y-8=0
          C₂:x²+y²-4x-4y-2=0
    试判断圆C₁圆C₂的关系
分析：
  解法一：圆C₁与圆C₂的方程联立，得到方程组
      x²+y²+2x+8y-8=0  ①
      x²+y²-4x-4y-2=0  ②
     ①-②，得
           x+2y-1=0,  ③
     由③，得
           y=1-x/2,
     把上式代入①，并整理，得
     x²-2x-3=0,   ④ 
     方程④的根的判别式
     △=（-2）2-4×l×（-3）=16＞0，
     所以，方程④有两个不相等的实数根x₁,x₂，把x₁,x₂分别代入方程③，得到y₁,y₂
     因此圆C₁与圆C₂有两个不同的公共点A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)
解法二：将圆C₁的方程化成标准方程，得
        （x+1）²+(y+4)²=25
     圆C₁圆心坐标为（-1，-4），半径长r₁=5.
     将圆C₂的方程化成标准方程，得
         （x-2）²+(y-2)²=10
     圆C₂圆心坐标为（2,2），半径长r₂=√10
     圆C₁与圆C₂的连心线的长尾
      √（-1-2）²+（-4-2）²=3√5
     圆C₁与圆C₂的两半径之和是
         r₁+r₂=5+√10
     两半径长之差
        r₁-r₂=5-√10
     即   r₁-r₂＜3√5＜r₁+r₂
     因此圆C₁与圆C₂相交，它们有两个公共点A,B
例2 已知圆C₁:x²+y²-2mx+4y+m²-5=0
         C₂:x2+y²+2x-2my+m²-3=0
    当m为何值时（1）圆C₁与圆C₂相外切；
              （2）圆C₁与圆C₂内含。
解：对于圆C₁与圆C₂的方程，经配方后，有
         C₁:（x-m）²+(y+2)²=9,
         C₂:（x+1）²+(y-m)²=4
    所以，两圆的圆心C₁(m-2),C₂(-1,m);
                半径 r₁=3,r₂=2;
             |C₁C₂|=√(m+1)²+(m+2)²
（1）若圆C₁与圆C₂相外切，则|C₁C₂=r₁+r₂|
       即  √(m+1)²+(m+2)²=5
       解得 m=5或m=2
（2）若圆C₁与圆C₂相外切，则|C₁C₂|=r₁+r₂
       即  √(m+1)²+(m+2)²＜1
       解得 -2＜m＜-1
课堂小结
    本节学习了如何根据圆的方程判断两圆的位置关系，其方法有两种
    代数法：根据两圆的方程组成的方程组的解的个数来判断两圆的交点个数，从而确定两圆的位置关系；
    几何法：计算两圆的圆心距与两圆半径之或半径之差的绝对值之间的关系，从而判断两圆的位置关系。