课程内容

《空间中直线与直线的位置关系》
问题提出
1.同一平面内的两条直线有哪几种位置关系？
2.空间中的两条不同直线除了平行和相交两种位置关系外，还有什么位置关系呢?
知识探究（一）：异面直线的概念
问题：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在直线分别与线段CD'所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何？

问题：我们把上图中直线A'B与直线CD叫做异面直线，一般地，怎样理解异面直线？
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？
A.空间中既不平行又不相交的两条直线；
B.平面内的一条直线和这平面外的一条直线；
C.分别在不同平面内的两条直线；
D.不在同一个平面内的两条直线；
E.不同在任何一个平面内的两条直线。
问题：空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？
知识探究（二）：三线平行公理
问题：如图，在长方体ABCD—A'B'C'D'中，BB'∥AA',DD'∥AA',那么BB'与DD'平行吗？

问题：取一块长方形纸板ABCD,E,F分别为AB,CD的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何？
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行。
思考：公理4叫做三线平行公理，它说明空间平行直线具有传递性，在逻辑推理中公理4有何作用？
知识探究（三）：等角定理
问题：如图，四棱柱ABCD——A'B'C'D'的底面是平行四边形，∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠B'A'D'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

问题：如图，在空间中AB∥A'B',AC∥A'C'，你能证明∠BAC与∠B'A'C'，你能证明∠BAC与∠B'A'C'相等吗？
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

思考：上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？
问题3：把两条异面直线分别平移，在某处相交得到两条相交直线，我们用这两条相交直线所夹的锐角（或直角）来反映异面直线的相对倾斜程度，并称之为异面直线所成的角，你能给“异面直线所称的角”下个定义吗？
思考：若点O的位置不同，则直线a'b'的夹角大小发生变化吗？为什么？为了作图方便，点O宜选在何处?
知识探究（五）：两条直线垂直
问题1：两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
问题2:如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b。在长方体ABCD-A'B'C'D'中，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
问题3：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？
问题4：如果两条平行直线中有一条与这一条直线垂直，那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？
理论迁移
例1 如图，空间四边形ABCD中，E,F，G,H分别是AB,BC,CD,DA的重点。
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形。
(2)若AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形？
例2 如图，在正方体ABCD—A'B'C'D'中，
(1)直线A'B和CC'的夹角是多少？
(2)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？哪些棱所在的直线与直线A'B垂直？

课下思考：如图，在四面体ABCD中，E,F分别是棱AD,BC上的点，且AE/ED=BF/FC=1/2
已知AB=CD=3,EF=√3,求异面直线AB和CD所成的角。