课程内容:

《直线、平面垂直的判定》
问题提出：1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究。
    2.直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？
知识探究（一）直线与平面垂直的概念
思考1：田径场地上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？
思考2：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？
思考3：上述旗杆与地面的位置关系，称为直线与平面垂直，一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？
思考4：用图形、符号怎样表示直线与平面垂直？
思考5：如果直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足。那么过一点可作多少条平面α的垂线？过一点可作多少个直线l的垂面？
知识探究（二）直线与平面垂直的判定
思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？
思考2：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直。如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？
思考3：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系。
    如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌面所在的平面垂直？
思考4：由上可知当折痕AD垂直平面α内的两条相交直线时，折痕AD与平面α垂直。由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法？
定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
思考5：上述定理通常称为直线和平面垂直的判定定理，它是判定直线与平面垂直的理论依据。结合下图，怎样用符号语言表述这个定理？
思考6：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？
例1.已知a∥b，a⊥α，求证b⊥α。
例2.侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A₁C⊥B₁D₁，说明你的理由。
    直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？
知识探究（一）两个平面垂直的概念
思考1：什么叫二面角？什么叫二面角的平面角？
    （1）顶点在棱上；（2）边在两个半平面内；（3）边垂直于棱。
思考2：什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？
思考3：如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？
思考4：在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？
思考5：如果平面α⊥β，那么平面α内的任一条直线都与平面β垂直吗？
知识探究（二）：两个平面垂直的判定
思考1：根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？
思考2：如图，∠AOB为直二面角α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？
思考3：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？
    两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
思考5：结合图形，两个平面垂直能判定定理用符号语言怎样表述？
    l⊥α，lβα⊥β
思考6：过一点P可以作多少个平面与平面α垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面α垂直？
例3.如图，○O在平面α内，AB是○O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。
例4.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD。