课程内容

《方程的根与函数的零点》
课前回顾：
问题1：方程x²-2x-3=0与函数y=x²-2x-3的图象有什么关系？
定义：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）零点。
问题2：函数零点的定义中我们应该注意些什么？
       零点不是“点”
练习：函数f（x）=1+1/x的零点是（   ）
      A、（-1,0）   B、（0,-1）   C、-1    D、0
问题3：讨论二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）零点的个数。
二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）零点的个数与函数所对应的二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）不相同根的个数相同。
Δ=b²-4ac＞0，y=ax²+bx+c（a≠0）有两个零点
Δ=b²-4ac=0，y=ax²+bx+c（a≠0）有一个零点
Δ=b²-4ac＜0，y=ax²+bx+c（a≠0）没有零点
小结：
    方程f（x）=0有实根←→函数y=f（x）的图像与x轴有交点←→函数y==f（x）有零点
零点存在的判定定理
问题4：通过y=x²-2x-3的图象，试着思考下面问题（周围同学讨论）：
（1）任取该函数零点附近的两个点a、b，f（a）、f（b）的符号是什么？
（2）如果已知函数f（x）=x²-2x-3在定义域中的某个区间[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，你能得出什么结论吗？
结论：如果函数y=f（x）在定义域的某个区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）内存在零点。（零点存在判定定理）
总结一下：
一般地，我们有：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f（a）f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。
问题5：函数零点的求法：
由此可知，求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点。函数零点的求法：
①（代数法）求方程f（x）=0的根。
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
例题1：求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数。
例题2：f（x）=e^x-1/x的零点所在的区间是（   ）（不用计算器）
       A、（0,1/2）   B、（1/2,1）   C、（1,3/2）   D、（3/2,2）
思考题：
函数f（x）=3ax+1-2a在[-1,1]上存在x₀，使f（x₀）=0（x₀≠±1），求a的取值范围。